Question

16．已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）-f（x）=-4x+4，且f（0）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．
①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；
②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．

Answer 1

分析 （1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax²+bx+c，利用待定系数法求解即可．
（2）g（x）=-x²+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，b≤2或a≥2，①1°当b≤2时，2°当a≥2时，列出不等式组，求解m的取值范围为$（-\frac{9}{4}，-2]∪$$（-\frac{5}{4}，-1]$；
②（法一）设x₀为g（x）的零点，则$\left\{\begin{array}{l}g（{x_0}）=0\\ h（{x_0}）=0\end{array}\right.$，求出m=0或m=-3，1°当m=0时，求出h（x）所有零点为0，2，4；2°当m=-3时，求出h（x）所有零点为$1，3，2±\sqrt{3}$；
（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）+m=-（-x²+4x+m）（-x²+sx+t），展开对应系数相等求解即可．

解答 解：（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax²+bx+c，
则f（x+2）-f（x）=a（x+2）²+b（x+2）+c-（ax²+bx+c）=4ax+4a+2b…（2分）
由f（x+2）-f（x）=-4x+4得（4a+4）x+4a+2b-4=0恒成立，又f（0）=0
所以$\left\{\begin{array}{l}4a=-4\\ 4a+2b=4\\ c=0\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\\ c=0\end{array}\right.$，所以f（x）=-x²+4x…（4分）
（2）g（x）=-x²+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，所以b≤2或a≥2
①1°当b≤2时，g（x）在区间[a，b]上单调增，所以$\left\{\begin{array}{l}g（a）=a\\ g（b）=b\end{array}\right.$，即a，b为g（x）=x的两个根，
所以只要g（x）=x有小于等于2两个不相等的实根即可，
所以x²-3x-m=0要满足$\left\{\begin{array}{l}9-4（-m）＞0\\{2^2}-6-m≥0\end{array}\right.$，得$-\frac{9}{4}＜m≤-2$…（6分）
2°当a≥2时，g（x）在区间[a，b]上单调减，所以$\left\{\begin{array}{l}g（a）=b\\ g（b）=a\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+4a+m=b\\-{b^2}+4b+m=a\end{array}\right.$
两式相减得（b-a）（a+b-5）=0，因为b＞a，所以a+b-5=0，
所以m=a²-5a+5，$2≤a＜\frac{5}{2}$，得$-\frac{5}{4}＜m≤-1$…（9分）
综上，m的取值范围为$（-\frac{9}{4}，-2]∪$$（-\frac{5}{4}，-1]$…（10分）
②（法一）设x₀为g（x）的零点，则$\left\{\begin{array}{l}g（{x_0}）=0\\ h（{x_0}）=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-{x_0}^2+4{x_0}+m=0\\-{（-{x_0}^2+4{x_0}）^2}+4（-{x_0}^2+4{x_0}）+m=0\end{array}\right.$，
即-m²-4m+m=0，得m=0或m=-3…（12分）
1°当m=0时，h（x）=-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）=-x（x-4）（x²-4x+4）
所以h（x）所有零点为0，2，4…（14分）
2°当m=-3时，h（x）=-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）-3=-（-x²+4x-3）（-x²+4x-1）
（因为必有因式-x²+4x-3，所以容易分解因式）
由-x²+4x-3=0和-x²+4x-1=0得$x=1，3，2±\sqrt{3}$，
所以h（x）所有零点为$1，3，2±\sqrt{3}$…（16分）
（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，
所以-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）+m中必有因式-x²+4x+m，
所以可设：-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）+m=-（-x²+4x+m）（-x²+sx+t）
展开对应系数相等得$\left\{\begin{array}{l}m=0\\ s=4\\ t=-4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=-3\\ s=4\\ t=-1\end{array}\right.$（下同法一）．

点评 本题考查函数的零点的求法，二次函数的性质，待定系数法以及转化思想的应用，考查计算能力．