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函数的导数为0的点称为函数的驻点,若点(1,1)为函数f(x)的驻点,则称f(x)具有“1-1驻点性”.
(1)设函数f(x)=-x+2+alnx,其中a≠0.
①求证:函数f(x)不具有“1-1驻点性”
②求函数f(x)的单调区间
(2)已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1-1驻点性”,给定x1,x2∈R,x1<x2,设λ为实数,且λ≠-1,α=,β=,若|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,求λ的取值范围.
【答案】分析:(1)①对函数f(x)=-x+2+alnx求导,验证f′(1)≠0即可说明函数f(x)不具有“1-1驻点性”;②根据导数的符号和函数单调性的关系,即f′(x)>0时不等式解集就是函数的单调递增区间,f′(x)<0时不等式解集就是函数的单调递减区间,注意对参数a的讨论;
(2)由题设知,函数g(x)得导数g′(x)=g′(x)=3bx2+6x+c,根据g(x)具有“1-1驻点性,求出b,c的值,从而g(x)在R上单调递减,分①λ≥0②-1<λ<0③λ<-1三种情况讨论求解λ得范围即可
解答:解:(1)①f′(x)=-1++
∵f′(1)=-1+1+a≠0,
∴函数f(x)不具有“1-1驻点性”.
②由f′(x)==
(ⅰ)当a+<0,即a<-时,f′(x)<0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数;
(ⅱ)当a+=0,即a=-时,显然f′(x)≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的减函数
(ⅲ)当a+>0,即a>-时,由f′(x)=0得=±
当-<a<0时,->0
∴x∈(0,a+-)时,f′(x)<0;
x∈( a+-,a++)时,f′(x)>0; x∈(a++,+∞)时,f′(x)<0;
当a>0时,-<0
∴x∈(0,a++)时,f′(x)>0; x∈( a++,+∞)时,f′(x)<0;
综上所述:当a≤-时,函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞);
当-<a<0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,a+-)和( a++,+∞),
函数f(x)的单调递增区间为( a+-,a++);
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,a++),
函数f(x)的单调递减区间为( a++,+∞)
(Ⅱ)由题设得:g′(x)=3bx2+6x+c,
∵g(x)具有“1-1驻点性”∴g(1)=1且g′(1)=0
解得
∴g′(x)=-3x2+6x-3=-3(x-1)2≤0,故g(x)在定义域R上单调递减.
①当λ≥0时,α==x1,α==x2,即α∈[x1,x2),同理β∈(x1,x2]
由g(x)的单调性可知:g(α),g(β)∈[g(x2),g(x1)]
∴|g(α)-g(β)|≤|g(x1)-g(x2)|与题设|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|不符.
②当-1<λ<0时,α==x1,β==x2
即α<x1<x2<β∴g(β)<g(x2)<g(x1)<g(α)
∴|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,符合题设
③当λ<-1时,α==x2,β==x1,即β<x1<x2<α
∴g(α)<g(x2)<g(x1)<g(β)
∴|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|也符合题设
由此,综合①②③得所求的λ的取值范围是λ<0且λ≠-1
点评:本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力,属难题.
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(1)己知f(x)=x3-3x2+2x+2,求函数f(x)的“拐点”A的坐标;
(2)检验(1)中的函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称;
(3)对于任意的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)写出一个有关“拐点”的结论(不必证明).

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(1)设函数f(x)=-x+2
x
+alnx,其中a≠0.
①求证:函数f(x)不具有“1-1驻点性”
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(2)已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1-1驻点性”,给定x1,x2∈R,x1<x2,设λ为实数,且λ≠-1,α=
x1+λx2
1+λ
,β=
x2+λx1
1+λ
,若|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,求λ的取值范围.

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(1)设函数f(x)=-x+2数学公式+alnx,其中a≠0.
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②求函数f(x)的单调区间
(2)已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1-1驻点性”,给定x1,x2∈R,x1<x2,设λ为实数,且λ≠-1,α=数学公式,β=数学公式,若|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,求λ的取值范围.

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