Question

18．已知sinα+sin（α+β）+cos（α+β）=$\sqrt{3}$，β∈[$\frac{π}{4}$，π]，求β的值．

Answer 1

分析 把已知等式中的sinα用α+β和β的三角函数表示，然后利用辅助角公式化积，再由三角函数的有界性可得cosβ≥sinβ，又β∈[$\frac{π}{4}$，π]，可得cosβ≤sinβ，从而得到sinβ=cosβ，即$β=\frac{π}{4}$．

解答 解：∵sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
∴$\sqrt{3}$=sinα+sin（α+β）+cos（α+β）
=（1+cosβ）sin（α+β）+（1-sinβ）cos（α+β）
=$\sqrt{（1+cosβ）^{2}+（1-sinβ）^{2}}sin（α+β+$φ），
∵|sin（α+β+φ）|≤1，
∴$\sqrt{3}$$≤\sqrt{（1+cosβ）^{2}+（1-sinβ）^{2}}=\sqrt{3+2cosβ-2sinβ}$，
∴cosβ≥sinβ，
又β∈[$\frac{π}{4}$，π]，∴cosβ≤sinβ，
则sinβ=cosβ，即$β=\frac{π}{4}$．

点评 本题考查两角和与差的正弦、余弦，考查了学生的灵活变形能力，难度较大．