分析 (1)运用等比数列求和公式运算;
(2)运用绝对值不等式的性质证明;
(3)根据条件可得{an}为:±1,±2,±4,…,±2m-2,2m-1.
解答 (1)因为,|an+1|=q|an|,所以,数列{|an|}是一个公比为q的等比数列,
所以,由$\sum_{k=1}^{n+1}{|{a_k}|}≤4|{a_n}|$得化简$\frac{{1-{q^{n+1}}}}{1-q}≤4{q^{n-1}}$,
化简得,$\frac{1}{{{q^{n-1}}}}≥{({q-2})^2}$对任意正整数n都成立,
左边在n无穷大时是无穷小,所以,q=2;
(2)假设l是1,2,3,…,m中满足an≠bn中的最大角标,
则$|{\sum_{k=1}^m{a_k}-\sum_{k=1}^m{b_k}}|=|{\sum_{k=1}^l{a_k}-\sum_{k=1}^l{b_k}}|=|{{a_l}-{b_l}}|-|{\sum_{k=1}^{l-1}{a_k}-\sum_{k=1}^{l-1}{b_k}}|≥{2^l}-\sum_{k=1}^{l-1}{2^k}=2$,
所以,$\sum_{k=1}^m{|{a_k}|}≠\sum_{k=1}^m{|{b_k}|}$;
(3)显然{an}的前m项和是正数,当且仅当am>0,
此时ai(i=1,2,…,m-1)的符号随意,
即{an}:±1,±2,±4,…,±2m-2,2m-1,
这样的数列共有2m-1个,
若ai与bi符号相反,则进行配对(i=1,2,…,m-1),
于是,Am中所有元素之和为2m-1•2m-1=22m-2.
点评 本题主要考查了等比数列的求和,数列不等式的证明,以及绝对值不等式的性质,属于难题.
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