Question

已知二项式(x-

m

x

)6展开式中不含x的项为-160；设f1(x)=

m

1+x

，定义fn+1(x)=f1[fn(x)]，an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n，Qn=

4n2+n

4n2+4n+1

，其中n∈N^*，试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）二项式(x-

m

x

)6展开式中不含x的项为-160，写出通项公式，令x的系数为0，求出m．
（2）f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]是一种递推关系，故求数列{a_n}的通项公式可通过探求a_n+1和a_n之间的关系求解．
（3）由（2）可知数列{a_n}是等比数列，故求T_2n要采用错位相减法，求出后，
要与Qn比较大小，可先取n=1，2，3时观察结果，猜测结论，再用数学归纳法证明．

解答：解：（Ⅰ）Tr+1=

C

R 6

x6-r(-

m

x

)r=

C

r 6

(-m)rx6-2r，因6-2r=0，得r=3；C₆³（-m）³=-160得m=2．
（Ⅱ）a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

2-1

2+2

=

1

4

，∵fn+1(x)=f1[fn(x)]∴fn+1(x)=

2

1+fn(x)

∵an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，，∴an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

•

fn(0)-1

fn(0)+2

=-

1

2

an，
则数列{a_n}是以

1

4

为首项，-

1

2

为公比的等比数列．∴an=

1

4

•(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n+1(n∈N*)，
（Ⅲ）S2n=1×(-

1

2

)2+2×(-

1

2

)3++2n•(-

1

2

)2n+1
(-

1

2

)S2n=1×(-

1

2

)3+2×(-

1

2

)4++2n•(-

1

2

)2n+2
两式相减得：S2n=

1

9

(1-

4n+1

4n

)，
又∵Qn=1-

3n+1

(2n+1)2

，
比较9T_2n与Q_n的大小，就是比较4ⁿ与（2n+1）²的大小：
当n=1时，4¹=4，（2×1+1）²=9，即4ⁿ＜（2n+1）²
当n=2时，4²=16，（2×2+1）²=25，即4ⁿ＜（2n+1）²
当n=3时，4³=64，（2×3+1）²=49，即4ⁿ＞（2n+1）²
猜测当n≥3时，有4ⁿ＞（2n+1）²
下面用数学归纳法证明：（1）当n=3时显然成立；
（2）设当n=k时猜想成立，即4^k＞（2k+1）²，
那么当n=k+1时，4^k+1=4^k•4＞4•（2k+1）²，
又∵4•（2k+1）²-[2（k+1）+1]²=（6k+5）（2k-1）＞0（k≥3），∴4^k+1＞[2（k+1）+1]²，
所以当n=k+1时猜想也成立．
综上所述：对于一切大于3的正整数都有4ⁿ＜（2n+1）²．
所以，当n=1、2时9S_2n＜Q_n，当n≥3时，9S_2n＞Q_n．

点评：数列综合题和立体几何以及解析几何大题，每年出现，年年有变化．因此，对数列综合题应进行系统探究，思考数列可能与哪些分支的知识综合考查．不过，数列与不等式的综合，是一种比较常见的题型，不可忽视．尤其数列不等式采用分类和数学归纳法等工具来处理的新题不可小视．