Question

（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

3 3 c d

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为

a1

=

1 1

，属于特征值1的一个特征向量为

a2

=

3 -2

，求矩阵A．
（2）选修4-4：坐标与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为psin（θ-

π

3

）=6，圆C的参数方程为

x=10cosθ y=10sinθ

，（θ为参数），求直线l被圆C截得的弦长．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5试求a的最值．

Answer 1

分析：（1）依题意得

A a1 =6 a1 A a2 = a2

，得到关于c，d的方程组，即可求得矩阵A；
（2）先将曲线的参数方程化成普通方程，再利用圆的几何性质，结合点到直线的距离公式即可求得直线l被圆截得的弦长．
（3）首先分析题目已知a²+2b²+3c²+6d²=5，可以考虑到柯西不等式的应用，建立关于a的不等关系后，再根据不等式的解法即可．

解答：解：（1）依题意得

A a1 =6 a1 A a2 = a2

，即

3 3 c d 1 1 =6 1 1 3 3 c d 3 -2 = 3 -2

所以

c+d=6 3c-2d=-2

解得

c=2 d=4

∴A=

3 3 2 4

（2）由ρsin（θ-

π

3

）=ρ（

1

2

sinθ-

3

2

cosθ）=6，∴y-

3

x=12
将圆的参数方程化为普通方程为x²+y²=10圆心为C（0，0），半径为10．
∴点C到直线的距离为d=

12

3+1

=6，
直线l被圆截得的弦长为2

10 2-6 2

=16
（3）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(

1

2

+

1

3

+

1

6

)≥(b+c+d)2
即2b²+3c²+6d²≥（b+c+d）²，由条件可得，5-a²≥（3-a）²
解得，1≤a≤2，代入b=1，c=

1

3

，d=

1

6

时，a_max=2；b=1，c=

2

3

，d=

1

3

时，a_min=1

点评：本题主要考查了二阶矩阵、考查圆的参数方程、参数方程的概念、直线与圆相交的性质、不等式的证明问题，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧性，需要同学们对两种不等式非常熟练，属于中档题目．