Question

如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F₁、F₂。点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点。

（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂。
（i）证明：；
（ii）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为椭圆过点，
所以
又a²=b²+c²
所以
故所求椭圆方程为；
（Ⅱ）（i）由于F₁（-1，0）、F₂（1，0），PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，且点P不在x轴上
所以k₁≠k₂，k₁≠0，k₂≠0
又直线PF₁，PF₂的方程分别为y=k₁（x+1），y=k₂（x-1）
联立方程得
所以
由于点P在直线x+y=2上
所以
因此2k₁k₂+3k₁-k₂=0
即
结论成立；
（ii）设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C） ，D（x_D，y_D）
联立直线PF₁与椭圆的方程得
化简得（2k₁²+1）x²+4k²₁x+2k²₁-2=0
因此
由于OA，OB的斜率存在
所以x_A≠0，x_B≠0
因此k₁²≠0，1
因此
                    
                    
                   
相似地可以得到
故
                                
若k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0，须有k₁+k₂=0或k₁k₂=1
①当k₁+k₂=0时，结合（i）的结论，可得k₂=-2，所以解得点P的坐标为（0，2）；
②当k₁k₂=1时，结合（i）的结论，解得k₂=3或k₂=-1（此时k₁=-1，不满足k₁≠k₂，舍去），此时直线CD的方程为y=3（x-1），联立方程x+y=2得
因此
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（0，2），。