Question

14．已知$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=1$，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，点C在∠AOB内，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$夹角为30°，若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，（m，n∈R），则$\frac{n}{m}$的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 依题意建立直角坐标系，加上点C在∠AOB内的限制，可得点C的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解

解答 解：因为$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=1$，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，点C在∠AOB内，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$夹角为30°，故可建立直角坐标系如图所示．
$\overrightarrow{OA}=（1.0）.\overrightarrow{OB}=（0，1）$，∵$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，（m，n∈R），∴$\overrightarrow{OC}=（m，n）$⇒C（m，n），
∵$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$夹角为30⁰，∴tan30°=$\frac{n}{m}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
故选：A．．

点评 本题为向量的基本运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是一种常用的处理向量运算的方法，属基础题．