Question

如图，圆C₁：（x-a）²+y²=r²（r＞0）与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点M（2，1），且抛物线在点M处的切线过圆心C₁．
（Ⅰ）求C₁和C₂的标准方程；
（Ⅱ）若点N为圆C₁上的一动点，求

NC1

•

MC1

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据M在抛物线C₂上，求出抛物线方程，进而得到C₂在点M处的切线方程求出圆心的坐标，再结合M在圆C₁上即可求出圆C₁的标准方程；
（II）设N（x，y），表示出两个向量即可得到

NC1

•

MC1

=x+y-1，再令x+y-1=t，代入圆的方程，然后利用方程有根即△≥0得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：把M（2，1）代入C₂：x²=2py（p＞0），
解得p=2，
所以C₂：x²=4y（2分）
由y=

1

4

x2得y′=

1

2

x，
所以C₂在点M处的切线方程为y-1=x-2，（3分）
令y=0有x=1．
因为抛物线在点M处的切线过圆心C₁，
所以圆心C₁（1，0），（4分）
又因为M （2，1）在圆C₁上
所以（2-1）²+1=r²，
解得r²=2，
故C₁：（x-1）²+y²=2（6分）
（Ⅱ）设N（x，y），则

NC1

=(1-x，-y)，

MC1

=(-1，-1)，
所以

NC1

•

MC1

=x+y-1，（8分）
令x+y-1=t，代入（x-1）²+y²=2得（y-t）²+y²=2，
整理得2y²-2ty+t²-2=0（10分）
由△=4t²-8（t²-2）≥0得-2≤t≤2
所以

NC1

•

MC1

的取值范围为[-2，2]．（12分）

点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，以及向量的数量积，并且其中涉及到抛物线以及圆的标准方程的求法，考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．