Question

令f（n）=log_（n+1）（n+2）?（n∈N^*），如果对k（k∈N^*），满足f（1）•f（2）…f（k）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，2008]内所有“好数”的和M=

 

．

Answer 1

分析：分析题设条件，得到k=2ⁿ-2，由2ⁿ-2≤2008，解得1≤n≤10．由此能够求出区间[1，2008]内所有“好数”的和M．

解答：解：∵f（n）=log_（n+1）（n+2）?（n∈N^*），
∴f（1）•f（2）=log₂3•log₃4=log₂4=2，
f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•f（5）•f（6）
=log₂3•log₃4•log₄5•log₅6•log₆7•log₇8
=log₂8=3，
…
由题设知k=2ⁿ-2，
由2ⁿ-2≤2008，解得1≤n≤10，
∴M=

2(1-210)

1-2

=2006．
故答案为：2026

点评：本题考查对数的运算法则，解题时要认真审题，找到规律，注意等比数列前n项和公式的灵活运用．