Question

【题目】设函数f（x）=lnx﹣ ax2﹣bx
（1）当a=b= 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），

当a=b= 时，f（x）=lnx﹣ x2﹣ x，

∴f′（x）= ，

令f′（x）=0，解得：x=1或x=﹣2（舍去），经检验，x=1是方程的根．

当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，

所以f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）

（2）解：当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，

由f（x）=mx得mx=lnx+x，

又因为x＞0，所以m=1+ ，

要使方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，

只需m=1+ 有唯一实数解，

令g（x）=1+ （x＞0），∴g′（x）= （x＞0），

由g′（x）＞0，得：0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，

所以g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，

g（1）=1+ =1，g（e2）=1+ =1+ ，

g（e）=1+ =1+ ，

所以m=1+ 或1≤m＜1+

【解析】（1）将a，b的值代入，求出函数f（x）的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；（2）将a，b的值代入函数的表达式，问题转化为只需m=1+ 有唯一实数解，求出函数y=g（x）=1+ 的单调性，从而求出m的范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．