Question

在平面内，已知椭圆的两个焦点为F₁，F₂，椭圆的离心率为，P点是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得，由此能求出椭圆方程．
（2）设BA的直线方程为设y=kx+1，（不妨设k＞0）．由，得（1+4k²）x²+8kx=0，由此分别用k表示出AB和BC的长，再由AB=BC，求出直角边所在直线方程．
解答：解：（1）由题意得，∴，∴b=1，
∴方程为：．（5分）
（2）设BA的直线方程为设y=kx+1，（不妨设k＞0）
由，得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴，（7分）
∴，
∴，
∴，
由AB=BC，得k（k²+4）=4k²+1，
即（k-1）（k²-3k+1）=0，即k=1或
所以，存在3个等腰直角三角形．
直角边所在直线方程为．…（15分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查等腰直角三角形个数的判断和直角边所在直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．