Question

【题目】已知数列满足条件，且

（1）计算，请猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明；

（2）请分别构造一个二阶和三阶行列式，使它们的值均为，其中，要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零，并用按某行或者某列展开的方法验证三阶行列式的值为

Answer 1

【答案】（1），；证明见解析　　（2），，验证见解析

【解析】

（1）分别将代回即可求得,可猜测,根据数学归纳法证明即可；

（2）由（1）可构造二阶行列式为,根据要求可构造三阶行列式为,并展开求值进行验证即可

（1）当时,,即；

当时,；

当时,,则；

猜测,

证明：当时,成立；

假设当时,成立,

则,

所以,

即当时,等式也成立,

综上,成立

（2）由（1）,因为,

则可构造二阶行列式为；

因为要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零,可构造三阶行列式为,检验,,故该三阶行列式符合题意