Question

（2012•安徽模拟）已知椭圆C：

x2

4

+y2=1，直线l与椭圆C相交于A、B两点，

OA

•

OB

=0（其中O为坐标原点）．
（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）点O到直线AB的距离是定值．设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，x₁=x₂，y₁=-y₂，此时点O到直线AB的距离d=|x₁|=

2 5

5

；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆C：

x2

4

+y2 =1联立，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由根与系数的关系得到O到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

=

2 5

5

．由此能求出点O到直线AB的距离为定值

2 5

5

．
（Ⅱ）（法一：参数法）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-

1

k

x，解方程组

y=kx x2 4 +y2=1

，得

x12= 4 1+4k2 y12= 4k2 1+4k2

，同理可求得

x22= 4k2 4+4k2 y22= 4 4+4k2

，由此能推导出|OA|•|OB|的最小值．
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

=

2 5

5

．在Rt△OAB中，d=

|OA|×|OB|

|OA|2+|OB|2

，故有

|OA|×|OB|

|OA|2+|OB|2

=

2 5

5

，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）知，在Rt△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=

2 5

5

．设∠OAH=θ，则∠BOH=θ，故|OA|=

|OH|

sinθ

，|OB|=

|OH|

cosθ

．所以，|OA|×|OB|=

|OH|2

sinθcosθ

=

8 5

sin2θ

，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）点O到直线AB的距离是定值．
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），
①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，也就是x12-y12=0，代入椭圆方程解得：|x1| =|y1| =

2 5

5

．
此时点O到直线AB的距离d=|x₁|=

2 5

5

．…（2分）
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆C：

x2

4

+y2 =1联立，
消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，…（3分）
因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²）x1x2+km(x1+x2)+m2=0，…（4分）
代入得：(1+k2)

4m2-4

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
整理得5m²=4（k²+1），…（5分）
O到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

=

2 5

5

．
综上所述，点O到直线AB的距离为定值

2 5

5

．…（6分）
（Ⅱ）（法一：参数法）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-

1

k

x，
解方程组

y=kx x2 4 +y2=1

，得

x12= 4 1+4k2 y12= 4k2 1+4k2

，
同理可求得

x22= 4k2 4+4k2 y22= 4 4+4k2

，
故|OA|•|OB|=

1+k2

|x1| 

1+ 1 k2

|x2|
=4 

(1+k2)2 (1+4k2)(k2+4)

．…（9分）
令1+k²=t（t＞1），则|OA|•|OB|=4

t2 4t2+9t-9

=4

1 - 9 t2 + 9 t +4

，
令g(t)=-

9

t2

+

9

t

+4=-9(

1

t

-

1

2

)2+

25

4

（t＞1），所以4＜g（t）≤

25

4

，即

8

5

≤|OA|•|OB|＜2．…（11分）
当k=0时，可求得|OA|•|OB|=2，故

8

5

≤|OA|•|OB|≤2，故|OA|•|OB|的最小值为

8

5

，最大值为2．…（13分）
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

=

2 5

5

．
在Rt△OAB中，d=

|OA|×|OB|

|OA|2+|OB|2

，故有

|OA|×|OB|

|OA|2+|OB|2

=

2 5

5

，
即(|OA|×|OB|)2=

4

5

(|OA|+|OB| 2)，…（9分）
而|OA|²+|OB|²≥2|OA|×|OB，（当且仅当|OA|=|OB|时取等号）
代入上式可得：(|OA|+|OB|)2=

4

5

(|OA|2+|OB|2)≥

8

5

|OA|×|OB|，
即|OA|×|OB|≥

8

5

，（当且仅当|OA|=|OB|时取等号）．…（11分）
故|OA|•|OB|的最小值为

8

5

．…（13分）
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）可知，如图，在Rt△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=

2 5

5

．
设∠OAH=θ，则∠BOH=θ，故|OA|=

|OH|

sinθ

，|OB|=

|OH|

cosθ

．…（9分）
所以，|OA|×|OB|=

|OH|2

sinθcosθ

=

8 5

sin2θ

，…（11分）
显然，当2θ=

π

2

，即θ=

π

4

时，|OA|•|OB|取得最小值，最小值为

8

5

．…（13分）

点评：本题探究点到直线的距离是否为定值，求线段乘积的最小值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．