Question

设f(x)=

1

3

x3-ax2+(a-1)x．
（1）若f（x）在x=1处 切线的斜率恰好为1，求a的值；
（2）若f（x）在（0，1）内递减，求a的取值范围；又若此时f（x）在x₁处取极小值，在x₂处取极大值，判断x₁、x₂与0和1的大小关系．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而建立方程，解之即可求出a的值；
（2）根据f（x）在（0，1）内递减则在（0，1）内有f'（x）≤0恒成立，建立不等关系可求出a的取值范围，由f'（x）的图象知x₁、x₂与0和1的大小关系．

解答：解：（1）f'（x）=x²-2ax+（a-1）…（3分）
∵f'（1）=1⇒a=-1…（6分）
（2）依题意，在（0，1）内有f'（x）≤0恒成立⇒

f′(0)≤0 f′(1)≤0

⇒0≤a≤1…（9分）
又由f'（x）的图象知，f'（x）与x轴的交点应该在（0，1）的两侧，

且在左侧的为f（x）的极大值，右侧的为极小值，故x₂≤0＜1≤x₁…（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于中档题．