Question

【题目】对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数， 的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．

（）求函数的所有“保值”区间．

（）函数是否存在“保值”区间？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）在的值域是，且，所以，所以，从而结合单调性列方程求解即可；

（2）分和两种情况分别在定义域上求值域列方程求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）因为函数的值域是，且在的值域是，

所以， 所以，从而函数在区间上单调递增，

故有解得．

又，所以．

所以函数的“保值”区间为．

（）若函数存在“保值”区间，则有：

①若，此时函数在区间上单调递减，

所以 ，消去得，整理得．

因为，所以，即．

又， 所以．

因为，

所以．

②若，此时函数在区间上单调递增，

所以，消去得，整理得．

因为，所以，即．

又，所以．

因为，

所以．

综合①、②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是．