Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3 ． 若a＞ ，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，则a的取值范围为（ ）
A.（ ， ]
B.（ ，1]
C.[﹣ ，1]
D.[0， ]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：f′（x）=3x2﹣6ax﹣9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称． 若 ＜a≤1，则f′（x）在[1，4a]上是增函数，
从而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3﹣6a﹣9a2 ， 最大值是f′（4a）=15a2 ．
由|f′（x）|≤12a，得﹣12a≤3x2﹣6ax﹣9a2≤12a，于是有3﹣6a﹣9a2≥﹣12a，且f′（4a）=15a2≤12a．
由f′（1）≥﹣12a得﹣ ≤a≤1，由f′（4a）≤12a得0≤a≤ ．
所以a∈（ ，1]∩[﹣ ，1]∩[0， ]，即a∈（ ， ]．
若a＞1，则∵|f′（a）|=15a2＞12a．故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立．
所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是（ ， ]，
故选：A．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．