Question

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=

3

2

．
（1）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l₁，l₂，切线l₁与l₂相交于点M．证明：

MF

•

MA

=

MF

•

MB

；
（2）椭圆E上是否存在一点M'，经过点M'作抛物线C的两条切线M'A'，M'B'（A'，B'为切点），使得直线A'B'过点F？若存在，求出抛物线C与切线M'A'，M'B'所围成图形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）联立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由抛物线C的方程为y=

1

4

x2，知y′=

1

2

x，过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y-y1=

1

2

x1(x-x1)，y-y2=

1

2

x2(x-x2)，由此能够求

FM

•

MA

=

MF

•

MB

．
（2）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a+b＞0)，半焦距为c，

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，所以椭圆E的方程是

x2

4

+y2 =1．假设存在点M‘满足题意，点M’心在直线y=-1上，由此能够求出抛物线C与切线M′A′，M′B′所围成图形的面积是S=2

∫

2 0

[

1

4

x2-(x-1)] dx=

1

2

(

1

12

x3-

1

2

x2+x)

|

2 0

=

4

3

．

解答：解：（1）联立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵抛物线C的方程为y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∴过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y-y1=

1

2

x1(x-x1)，y-y2=

1

2

x2(x-x2)，
即y=

1

2

x1 x-

1

4

x12，y=

1

2

x2x-

1

4

x22，
解得两条切线l₁，l₂的交点坐标为(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，即M（2k，-1），
要证

MF

•

MA

=

MF

•

MB

，即证

MF

•(

MB

-

MA

) =

MF

•

AB

=0，
∵

FM

•

AB

=(2k，-2)•(x2-x1，y2-y1)
=2k(x2-x1)-

(x2+x1)(x2-x2)

2

=0，∴

FM

•

MA

=

MF

•

MB

．
（2）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a+b＞0)，半焦距为c，

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，
∴椭圆E的方程是

x2

4

+y2 =1．
假设存在点M‘满足题意，由（1）知，点M’心在直线y=-1上，
又直线y=-1与椭圆E有唯一交点，故M‘（0，-1）．
设过点M’且与抛物线C相切的切线方程这：y-y0=

1

2

x0(x-x0)，
其中点（x₀，y₀）为切点，
令x=0，y=-1，得-1-

1

4

x02=

1

2

x0(0-x0)，
解得x₀=2或x₀=-2．
取A‘（-2，1），B’（2，1）即直线A‘B’过点F，
综上所述，椭圆E上存在一点M‘（0，-1），经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′，M′B′（A′，B′为切点），
此时，两条切线分别为y=-x-1，y=x-1．
抛物线C与切线M′A′，M′B′所围成图形的面积是S=2

∫

2 0

[

1

4

x2-(x-1)] dx=

1

2

(

1

12

x3-

1

2

x2+x)

|

2 0

=

4

3

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．