Question

已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：

⑴．直线AD与平面BCD所成角的大小；
⑵．直线AD与直线BC所成角的大小；
⑶．二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

⑴∠ADH=45°⑵90°⑶

(1)本小题关键是找出线面角，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，
则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角.
(2)易证,所以,所以直线AD与直线BC所成角为.
(3)找（做）出二面角A-BD-C的平面角是解决本小题的关键.本小题可采用三垂线定理定角法.过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角.
解：⑴如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，
则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 
由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°…………….5分
⑵∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，  ∴BC⊥AD，
故AD与BC所成的角为90°  ……9分
⑶过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2
故二面角A—BD—C的余弦值的大小为 …………14分