Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{a+1}{2}$x²+x-$\frac{2}{3}$．
（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为7x-y+b=0，求实数a，b的值；
（2）若a≤0，求f（x）的单调增区间；
（3）是否存在实数a∈（0，1），使f（x）的极小值为-$\frac{7}{24}$，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意得到f′（2）=7，求导代入求出a的值，在求出f（2）的值，再代入求出b的值；
（2）当a=0时，根据二次函数的性质得到函数的单调区间，当a＜0时，利用导数判断函数单调区间；
（3）当a∈（0，1），先判断函数的单调性，得到函数的极小值点，由得题意得到关于a的方程，解得即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{a+1}{2}$x²+x-$\frac{2}{3}$，
∴f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
∵f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为7x-y+b=0，
∴f′（2）=7，
即4a-2（a+1）+1=7，
解得a=4，
∴f（x）=$\frac{4}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²+x-$\frac{2}{3}$，
∴f（2）=2，
∴7×2-2+b=0，
解得b=-12；
（2）当a=0时，f（x）=$-\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{2}{3}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{1}{6}$，
∴函数f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当a＜0时，f′（x）=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），
∵△=（a+1）²-4a=（a-1）²≥0恒成立，
∴f′（x）=0，解得x=1或x=$\frac{1}{a}$，
当f′（x）＜0，即x＜$\frac{1}{a}$，或x＞1，函数单调递减，
当f′（x）＞0，即$\frac{1}{a}$＜x＜1，函数单调递增，
综上所述：当a=0时，函数f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当a＜0时，函数f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$），（1，+∞）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+1）上单调递增；
（3）实数a∈（0，1），f′（x）=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），
∵△=（a+1）²-4a=（a-1）²≥0恒成立，
∴f′（x）=0，解得x=1或x=$\frac{1}{a}$，
当f′（x）＞0，即x＜1，或x＞$\frac{1}{a}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即1＜x＜$\frac{1}{a}$，函数单调递减，
∴当x=$\frac{1}{a}$时，函数f（x）有极小值，
∴f（x）_极小值=f（$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{6{a}^{2}}$+$\frac{1}{2a}$-$\frac{2}{3}$=-$\frac{7}{24}$，
即9a²-12a+4=0，
解得a=$\frac{2}{3}$∈（0，1），
故a的值存在，a=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查导数的应用．导数一般应用在求切线的斜率极其方程，求函数的单调区间以及极值，导数的应用是高考考查的重点，须重视．