Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（3）求点N到平面ACM的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．由此能证明平面ABM⊥平面PCD．
（2）由AM⊥PD，又PA=AD，设D到平面ACM的距离为h，由V_D-ACM=V_M-ACD，能求出直线CD与平面ACM所成的角的正弦值．
（3）由已知得PC=6．AN⊥NC，由

PN

PA

=

PA

PC

，得PN=

8

3

．从而NC：PC=5：9．由此能求出点N到平面ACM的距离．

解答： 解：（1）证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．
又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）解：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，
则M是PD的中点，得AM=2

2

，MC=

MD2+CD2

=2

3

，
则S_△ACM=

1

2

AM•MC=2

6

．
设D到平面ACM的距离为h，由V_D-ACM=V_M-ACD，得2

6

h=8，
解得h=

2 6

3

，
设所求角为θ，则sinθ=

h

CD

=

6

3

．
（3）解：∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥ABCD，
PA=AD=4，AB=2，
解得PC=6．因为AN⊥NC，
由

PN

PA

=

PA

PC

，得PN=

8

3

．所以NC：PC=5：9．
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的

5

9

．
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，
由（2）可知所求距离为

5

9

h=

10 6

27

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．