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【题目】已知函数,且函数图像经过点.

1)当时,求的单调区间;

2且函数在区间上有且只有个极值点时,求的取值范围.

【答案】1)函数单调递减,在单调递增;(2.

【解析】

1)由求得的值,再由可得出函数的解析式,进而可求得,然后利用导数可进一步求得函数的单调递增区间和单调递减区间;

2)求得,构造函数,可知函数有两个变号零点,对实数的取值范围进行分类讨论,利用导数分析函数的单调性,结合题意得出关于的不等式,进而可求得实数的取值范围.

(1)由题意可得,解得

易知函数的定义域为

时,

,设,则恒成立,

所以,函数上单调递增,

,则当,即

,即.

所以,函数单调递减,在单调递增;

2)由,可得,且

,即

时,,此时.

①当时,有,此时恒成立,

所以,函数在区间上有且只有个极值点,故不满足题意;

②当时,有,设的两根为

则有

,则

即函数上单调递减,在上单调递增,

,故

,即时,函数无零点,

又在单调递增,,即函数在区间上有且只有个极值点,故不满足题意;

,即时,

使得,且当

;当

即此时函数在区间上有且只有个极值点,

极值点为,故满足题意,

综上可得,符合条件的的取值范围为.

练习册系列答案
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