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是定义在上的函数,若存在,使得上单调递增,在上单调递减,则称上的单峰函数,为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.  对任意的上的单峰函数,下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

  (1)证明:对任意的,若,则为含峰区间;若,则为含峰区间;

  (2)对给定的,证明:存在,满足,使得由(1)所确定的含峰区间的长度不大于

证明见解析


解析:

(1)证明:设的峰点,则由单峰函数定义可知, 上单调递增, 在上单调递减,

时,假设,则<,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间.

时,假设,则,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间………………………….(7分)

  (2)证明:由(1)的结论可知:

时, 含峰区间的长度为

时, 含峰区间的长度为

对于上述两种情况,由题意得               ①

由①得

又因为,所以                     ②

将②代入①得                    ③

由①和③解得

所以这时含峰区间的长度

即存在使得所确定的含峰区间的长度不大于

练习册系列答案
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是定义在上的函数,若 ,且对任意,满足

    ,则=( )

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②函数上的1级类增函数

③若函数上的级类增函数,则实数a的最小值为2

④设是定义在上的函数,且满足:1.对任意,恒有;2.对任意,恒有;3. 对任意,若函数上的t级类增函数,则实数t的取值范围为

以上命题中为真命题的是     

 

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是定义在上的函数,且对任意,当时,都有

(1)当时,比较的大小;

(2)解不等式

(3)设,求的取值范围。

 

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