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8.已知直线y=kx+2与曲线$f(x)=|{x+\frac{1}{x}}|-|{x-\frac{1}{x}}|$恰有两个不同的交点,则实数k的取值构成集合是$\{0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\}$.

分析 通过去绝对值符号可知分段函数f(x)的表达式,进而通过图象可知满足题意的三种情况,计算即得结论.

解答 解:当x≤-1时,f(x)=-x-$\frac{1}{x}$+x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2}{x}$,
当-1<x<0时,f(x)=-x-$\frac{1}{x}$-x+$\frac{1}{x}$=-2x,
当0<x<1时,f(x)=x+$\frac{1}{x}$+x-$\frac{1}{x}$=2x,
当x≥1时,f(x)=x+$\frac{1}{x}$-x+$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{x}$,
∴f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x},}&{x≤-1}\\{-2x,}&{-1<x<0}\\{2x,}&{0<x<1}\\{\frac{2}{x},}&{x≥1}\end{array}\right.$,
显然当k=0时满足题意,
另外还有两种情况,即直线与函数f(x)的图象在x<-1、x>1这两段上的图象相切,
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$,消去y整理得:kx2+2x-2=0,
令△=4+8k=0,可知k=-$\frac{1}{2}$,即k=-$\frac{1}{2}$满足题意,
由对称性可知k=$\frac{1}{2}$也满足题意,
综上所述,k=0、-$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$,
故答案为:$\{0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\}$.

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查数形结合能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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