Question

8．已知直线y=kx+2与曲线$f（x）=|{x+\frac{1}{x}}|-|{x-\frac{1}{x}}|$恰有两个不同的交点，则实数k的取值构成集合是$\{0，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}\}$．

Answer 1

分析 通过去绝对值符号可知分段函数f（x）的表达式，进而通过图象可知满足题意的三种情况，计算即得结论．

解答 解：当x≤-1时，f（x）=-x-$\frac{1}{x}$+x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2}{x}$，
当-1＜x＜0时，f（x）=-x-$\frac{1}{x}$-x+$\frac{1}{x}$=-2x，
当0＜x＜1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+x-$\frac{1}{x}$=2x，
当x≥1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-x+$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x}，}&{x≤-1}\\{-2x，}&{-1＜x＜0}\\{2x，}&{0＜x＜1}\\{\frac{2}{x}，}&{x≥1}\end{array}\right.$，
显然当k=0时满足题意，
另外还有两种情况，即直线与函数f（x）的图象在x＜-1、x＞1这两段上的图象相切，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，消去y整理得：kx²+2x-2=0，
令△=4+8k=0，可知k=-$\frac{1}{2}$，即k=-$\frac{1}{2}$满足题意，
由对称性可知k=$\frac{1}{2}$也满足题意，
综上所述，k=0、-$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\{0，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}\}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．