Question

已知f(x)=在区间[－1，1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）{m|m≥2，或m≤－2}.

【解析】

试题分析：

思路分析：（Ⅰ）根据f(x)在[－1，1]上是增函数，可得到f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.转化成(x)=x²－ax－2，二次函数问题。处理的方法较多。

（Ⅱ）由

从而可以得到x²－ax－2=0的两非零实根x₁，x₂的关系，将问题转化成

“要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立“同样将问题转化成二次函数问题。      

解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2  ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.        ①

设(x)=x²－ax－2，

方法一：

① －1≤a≤1，

∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

方法二：

① 或

0≤a≤1或－1≤a<0

 －1≤a≤1.

∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由

∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两非零实根，

∴ 

从而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

设g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

②

 m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m≠0时，

②或

 m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

考点：函数的零点，二次函数的图象和性质，不等式恒成立问题。

点评：中档题，本题主要利用“转化与化归思想”，将问题转化成二次函数在闭区间的最值问题，通过确定函数的最值，达到确定参数范围的目的。