Question

(08年银川一中一模文) （12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P―ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=

   （1）证明PA⊥平面ABCD；

   （2）已知点E在PD上，且PE:ED=2:1，点F为棱PC的中点，证明BF//平面AEC。

   （3）求四面体FACD的体积;

 

Answer 1

解析：证明：（I）因为在正方形ABCD中，AC=2 ∴AB=AD=

可得：在△PAB中，PA²+AB²=PB²=6。

所以PA⊥AB

同理可证PA⊥AD

故PA⊥平面ABCD （4分）

   （II）取PE中点M，连接FM，BM，

连接BD交AC于O，连接OE

∵F，M分别是PC，PF的中点，

∴FM∥CE，

又FM面AEC，CE面AEC

∴FM∥面AEC

又E是DM的中点

OE∥BM，OE面AEC，BM面AEC

∴BM∥面AEC且BM∩FM=M

∴平面BFM∥平面ACE

又BF平面BFM，∴BF∥平面ACE （4分）

   （3）连接FO，则FO∥PA，因为PA⊥平面ABCD，则FO⊥平面ABCD，所以FO=1，

S_ACD=1，

    ∴V_FACD=V_F――ACD=  （4分）