Question

已知函数f（x）=ax²+x-3，g（x）=-x+4lnx，h（x）=f（x）-g（x）
（1）当a=1时，求函数h（x）的极值；
（2）若函数h（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；
（3）定义：对于函数F（x）和G（x），若存在直线?：y=kx+b，使得对于函数F（x）和G（x）各自定义域内的任意x，都有F（x）≥kx+b且G（x）≤kx+b成立，则称直线?：y=kx+b为函数F（x）和G（x）的“隔离直线”．则当a=1时，函数f（x）和g（x）是否存在“隔离直线”．若存在，求出所有的“隔离直线”；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，再求导函数，确定函数的单调性，从而可以求函数h（x）的极值；
（2）函数h（x）有两个极值点，等价于导函数为0的方程有两个不相等的正数解，利用韦达定理可解；
（3）利用新定义，先确定“隔离直线”，再进行证明即可．

解答：解：（1）a=1时，f（x）=x²+x-3，h（x）=x²+2x-3-4lnx，h（x）的定义域是（0，+∞），h′(x)=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增
∴x=1时，h（x）取得极小值h（1）=0，h（x）无极大值．…（4分）
（2）h（x）=ax²+2x-4lnx-3，x∈（0，+∞），h′(x)=2ax+2-

4

x

=

2ax2+2x-4

x

依题意，方程2ax²+2x-4=0在（0，+∞）上有两个不相等的正数解．
∴

a≠0 △=4+32a＞0 - 1 a ＞0 - 2 a ＞0

，∴-

1

8

＜a＜0
∴a的取值范围是（-

1

8

，0）…（9分）
（3）设存在，a=1时，f（x）=x²+x-3
由（1）知，当且仅当x=1时，h（x）=0，此时，f（1）=g（1）=-1
∴y=f（x）与y=g（x）的图象有唯一的交点A（1，-1）
直线?必过点A，设?的方程：y+1=k（x-1），即y=kx-k-1
由f（x）≥kx-k-1恒成立得x²+（1-k）x+k-2≥0恒成立
∴△=（1-k）²-4（k-2）=（k-3）²≤0
∴k=3，直线?的方程：y=3x-4…（12分）
以下证明g（x）≤3x-4对x＞0恒成立
令?(x)=3x-4-g(x)=4x-4-4lnx，?′(x)=4-

4

x

=

4(x-1)

x

当x∈（0，1）时，?′（x）＜0，?（x）递减，当x∈（1，+∞）时，?′（x）＞0，?（x）递增，
∴?（x）的最小值为?（1）=0，∴?（x）≥0恒成立
即g（x）≤3x-4对x＞0恒成立
综上，f（x）和g（x）存在唯一的“隔离直线”：y=3x-4…（14分）

点评：本题考查导数函数单调性中的应用，考查学生对新定义的理解．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数的性质进行求解．