Question

如图，已知直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC₁的中点，A₁D⊥BE．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的大小；
（Ⅲ）求点B到平面A₁DE的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，可知AA₁⊥面ABCD，根据A₁D⊥BD，A₁D⊥BE，可证A₁D⊥平面BDE．
（Ⅱ）过M作MN⊥DE于N，连BN．易证BNM就是二面角B-DE-C的平面角，在Rt△BMN中，可求二面角B-DE-C的大小；
（Ⅲ）易证BN⊥平面A₁DE，从而BN的长就是点B到平面A₁DE的距离，故可求点B到平面A₁DE的距离．

解答：（Ⅰ）证明：∵直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥面ABCD
又∵AD⊥BD，∴A₁D⊥BD．…（2分）
又A₁D⊥BE，∴A₁D⊥平面BDE．…（3分）
（Ⅱ）解：连B₁C．∵A₁B₁∥CD，∴B₁C∥A₁D．∵A₁D⊥BE，∴B₁C⊥BE，
∴∠BB₁C=∠CBE，∴Rt△BB₁C∽Rt△CBE，
∴

BC

BB1

=

CE

BC

．∵CE=

1

2

BB1，BC=AD=a，∴

1

2

B

B

2 1

=BC2=a2，∴BB1=

2

a．…（5分）
取CD中点M，连BM．∵CD=

2

a，∴BM=

2

2

a．
过M作MN⊥DE于N，连BN．∵平面CD₁⊥平面BD，BM⊥CD，∴BM⊥平面CD₁，
∴BN⊥DE，∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角．…（7分）∵sin∠MDN=

MN

DM

=

CE

DE

，DE=

CE2+CD2

=

( 2 2 a)2+( 2 a)2

=

5

2

a，
∴MN=

a

10

．在Rt△BMN中，tan∠BNM=

BM

MN

=

5

，∴∠BNM=arctan

5

．
即二面角B-DE-C等于arctan

5

．…（9分）
（Ⅲ）解：∵A₁D⊥平面BDE，BN?平面BDE，∴A₁D⊥BN．…（10分）
又∵BN⊥DE，∴BN⊥平面A₁DE，即BN的长就是点B到平面A₁DE的距离．…（11分）
∵BM=

2

2

a，MN=

a

10

，∴BN=

BM2+MN2

=

15

5

a，
即点B到平面A₁DE的距离为

15

5

a．…（12分）

点评：本题以直平行六面体为载体，考查线面垂直，考查面面角，考查点面距离，关键是利用线面垂直的判定定理，正确表示面面角，线面距离的线段．