Question

设λ>0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y=x²上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程。

Answer 1

解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，
故可设P（x，y），Q（x，y₀），M（x，x²），
则x²-y₀=λ（y-x²），
即y₀=（1+λ）x²-λy  ①
再设B（x₁，y₁），由
即（x-x₁，y₀-y₁）=λ（1-x，1-y₀），
解得 ②
将①式代入②式，消去y₀，
得 ③
又点B在抛物线y=x²上，所以y₁=，再将③式代入y₁=
得（1+λ）²x²-λ（1+λ）y-λ=（（1+λ）x-λ）²，
（1+λ）²x²-λ（1+）y-λ=（1+λ）²x²-2λ（1+λ）x+λ²，
2（1+λ）x-λ（1+λ）y-λ（1+λ）=0
因λ>0，两边同除以λ（1+λ），得2x-y-1=0
故所求点P的轨迹方程y=2x-1。