Question

已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=

3

ccosC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=

21

，且sinC+sin（B-A）=5sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（I）根据正弦定理算出csinA=asinC，与题中等式比较可得tanC=

3

，结合C为三角形内角，可得C的大小；
（II）余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，列式解出a=5，b=1，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△ABC的面积．

解答： 解：（I）根据正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，可得csinA=asinC，
∵csinA=

3

acosC，∴asinC=

3

acosC，
可得sinC=

3

cosC，得tanC=

sinC

cosC

=

3

，
∵C∈（0，π），∴C=

π

3

；
（II）∵sinC+sin(B-A)=5sin2A，C=

π

3

∴sinC=sin（A+B）∴sin（A+B）+sin（B-A）=5sin2A，
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，
∵A、B、C为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，
由正弦定理可知b=5a…（1）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴21=a2+b2-2ab×

1

2

…（2）
由（1）（2）解得a=5，b=1，
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×1×5×

3

2

=

5 3

4

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于基础题．