【题目】选修4-4;坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程.
(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最大值.
【答案】(1), (2)
【解析】试题分析: (Ⅰ) 消去得直线的普通方程为. 由极坐标与直角坐标互化公式 ,可得曲线的直角坐标方程为, 即.
(Ⅱ) 设曲线上的点为,
则点到直线的距离为 当时, , 可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.
试题解析:
(Ⅰ) 由 消去得,
所以直线的普通方程为.
由,
得.
将代入上式,
得曲线的直角坐标方程为, 即.
(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,
则点到直线的距离为
当时, ,
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.
法2: 设与直线平行的直线为,
当直线与圆相切时, 得,
解得或 (舍去),
所以直线的方程为.
所以直线与直线的距离为.
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.
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【题目】某居民小区要建造一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的,是面积为200平方米的十字形地带.计划在正方MNPQ上建一座花坛,造价是每平方米4 200元,在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪,造价是每平方米210元,再在四个空角上铺上草坪,造价是每平方米80元.
(1)设总造价是S元,AD长为x米,试建立S关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,S最小?并求出最小值.
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【题目】已知向量,,设函数.
(1)若函数的图象关于直线对称,且时,求函数的单调增区间;
(2)在(1)的条件下,当时,函数有且只有一个零点,求实数的取值范围.
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【题目】四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,E,F分别为AC和PB上的点,它的直观图,正视图,侧视图如图所示.
(1)求EF与平面ABCD所成角的大小;
(2)求二面角B-PA-C的大小.
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【题目】国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运
会举办地。目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出。某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 合计 | |
年龄不大于50岁 | 80 | ||
年龄大于50岁 | 10 | ||
合计 | 70 | 100 |
(1)根据已有数据,把表格数据填写完整;
(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?
(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位教师的概率.
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【题目】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.
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