【题目】在函数定义域内,若存在区间,使得函数值域为,则称此函数为“档类正方形函数”,已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)若函数的最大值是1,求实数的值;
(3)当时,是否存在,使得函数为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)或;(3)存在,.
【解析】
(1)根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数的值域;
(2)利用换元法设,然后对参数进行分类讨论,分和两种情况进行讨论函数的最大值,根据最大值取得的情况计算出的取值;
(3)继续利用换元法设,设真数为,根据二次函数的性质可得在上为增函数,则,将问题转化为方程在上有两个不同实根进行思考,再次利用换元法转化为一元二次方程,根据,及韦达定理可计算出实数的取值范围.
(1)时,,
因为.
所以,
所以函数的值域为
(2)设,则,
若,则函数无最大值,
即无最大值,不合题意;
故,因此最大值在时取到,
且,所以,
解得或,
由,所以.
(3)因为时,设.设真数为.
此时对称轴,
所以当时,为增函数,且,
即在上为增函数.
所以,,
即方程在上有两个不同实根,
即,设.
所以.
即方程有两个大于l的不等实根,
因为,
所以,
解得,
即存在,使得函数为“1档类正方形函数”,且.
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【题目】如图设计一幅矩形宣传画,要求画面面积为4840,画面上下边要留8cm空白,左右要留5cm空白,怎样确定画面高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?
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【题目】已知直线和平面:①若直线与平面内的无数条直线平行,则;②若直线与平面内的任意一条直线都不平行,则直线和平面相交;③若,则直线与平面内某些直线平行;④若,则存在平面内的直线,使.以上结论中正确的个数为( )
A.B.C.D.
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【题目】在如图所示的空间几何体中,平面平面,与是边长为2的等边三角形,,BE和平面ABC所成的角为,且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上.
(1)求证:平面ABC;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】(1)若个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005,求的最小值,并说明理由;
(2)若个棱长为正整数的正方体的体积之和等于,求的最小值,并说明理由.
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【题目】由五个不同的数字0,1,2,5,组成无重复数字的三位数(最后结果用数字表达)
(1)若,则组成的偶数有多少个?
(2)若,则比210大的数有多少个?
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【题目】某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关,随机抽取了30名男性和30名女性观众,抽查结果用等高条形图表示如图:
(1)根据该等高条形图,完成下列列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关?
(2)从性观众中按喜欢节目与否,用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查.从这5名中任选2名,求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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