【题目】已知是抛物线的焦点,是抛物线上一点,且.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过点的动直线交抛物线于两点,抛物线上是否存在一个定点,使得以弦为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在点符合题意.
【解析】
(1)利用抛物线上的点到焦点的距离与到到准线的距离相等即可求出的值,即可求出抛物线方程.
(2)假设存在满足条件的点,依题设过点直线的直线的方程为,设,联立方程由根与系数的关系可得;依题可得,若能得出关于的成立的恒等式,则满足条件的点存在,否则就不存在.
(1)抛物线的准线方程为,
所以点到准线的距离为,又,
由抛物线的定义可得,所以,
所以抛物线的方程为:.
(2)假设存在点使以弦为直径的圆恒过点,
设过点直线的直线的方程为,
联立方程得,
设,则,;
因为点总是在以弦为直径的圆上,
所以,所以
由,
所以
即
当或,等式显然成立;
当或时,则有
即,则,
即
所以当时,无论取何值等式都成立,
将代入得,
所以存在点使以弦为直径的圆恒过点.
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【题目】某企业对设备进行升级改造,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品,否则为不合格品,图1是设备改造前样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的频数分布表.
表1,设备改造后样本的频数分布表:
质量指标值 | ||||||
频数 | 2 | 18 | 48 | 14 | 16 | 2 |
(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数;
(2)企业将不合格品全部销毁后,并对合格品进行等级细分,质量指标值落在[25,30)内的定为一等品,每件售价240元,质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品,每件售价180元,其它的合格品定为三等品,每件售价120元.根据表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率,现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为X(单位:元),求X得分布列和数学期望.
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【题目】 设命题p:函数y=在定义域上为减函数;命题q:a,b∈(0,+∞),当a+b=1时,+=3.以下说法正确的是( )
A. p∨q为真B. p∧q为真
C. p真q假D. p,q均假
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,直线与椭圆C交于A,B两点,且.
(1)求椭圆C的方程.
(2)不经过点的直线被圆截得的弦长与椭圆C的长轴长相等,且直线与椭圆C交于D,E两点,试判断的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
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