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已知数列{an}满足a1=
1
4
,(1-an)an+1=
1
4
.令bn=an-
1
2

(1)求证:数列{
1
bn
}为等差数列;
(2)求和:Sn=
a2
a1
+
a3
a2
+…+
an+1
an
考点:数列的求和,等差数列的性质
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)根据已知条件对关系式进行恒等变换,会进一步利用定义证明数列是等差数列.
(2)利用(1)的结论,进一步求出数列的通项公式,对关系式进行恒等变换,最后利用裂项相消法求出数列的和.
解答: 解:(1)已知数列满足关系式:(1-an)an+1=
1
4

所以:1-an=
1
4an+1

则:an-1=-
1
4an+1

所以:an-
1
2
=
1
2
-
1
4an+1
=
2an+1-1
4an+1
=
2(an+1-
1
2
)
4an+1


则:
1
an-
1
2
=
2an+1
an+1-
1
2
=
2an+1-1+1
an+1-
1
2
=2+
1
an+1-
1
2

由于:bn=an-
1
2

所以:bn+1=an+1-
1
2

1
bn+1
-
1
bn
=-2
(常数)
所以:数列{
1
bn
}是等差数列.
(2)由(1)得:
1
an-
1
2
=
1
a1-
1
2
-2(n-1)

整理得:an=
1
2
(
n
n+1
)

所以:
an+1
an
=1+
1
n(n+2)
=1+
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)

Sn=
a2
a1
+
a3
a2
+…+
an+1
an

=(1+1+…+1)+
1
2
(1-
1
3
+
1
2
-
1
4
+
…+
1
n-1
-
1
n+1
+
1
n
-
1
n+2

=n+
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)

=n+
1
2
(
3
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)
点评:本题考查的知识要点:递推关系式的恒等变换,利用定义法证明数列是等差数列,裂项相消法的应用.属于中等题型.
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已知sinα+cosα=
1
2
,则sinα•cosα=
 

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x2
a2
+y2=1(a>0)的两个焦点是F1(-c,0)或F2(c,0)(c>0),且椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为
3
-
2

(1)求椭圆的方程;
(2)过点(0,
2
)且斜率k为的直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在k,使得向量
OP
+
OQ
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共线?若存在,试求出k的值;若不存在,请说明理由.

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AB
=
a
AD
=
b
AA1
=
c
,则
AE
=(  )
A、
a
+
b
+
1
2
c
B、
a
+
1
2
b
+
c
C、
a
+
1
2
b
+
1
2
c
D、
a
-
1
2
b
-
1
2
c

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若函数y=
x+4
x-2
在区间(a,b)上的值域是(2,+∞),则logab=
 

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设函数f(x)=sin
π
6
-
3
sin2ωx-
1
2
sin2ωx(ω>0),q且y=f(x)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求f(
π
2
)的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[π,
2
]上的最小值.

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