Question

已知函数f（x）=2alnx-x²+1
（1）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；
（3）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2lnx-x²+1，求出函数的导数，令f′（x）＜0，解不等式，求出即可；
（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论①当

a

≤1②当

a

＞1的情况，从而求出函数的最值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0＜a≤1时，f（x）≤f（1）=0在区间[1，+∞）上恒成立；当a＞1时，由于f（x）在区间[1，

a

]上是增函数，从而得到a的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2lnx-x²+1，
f′（x）=

-2(x2-1)

x

，（x＞0），
令f′（x）＜0．∵x＞0，∴x²-1＞0，解得：x＞1，
∴函数f（x）的单调递减区间是（1，+∞）；
（Ⅱ）f′（x）=

-2(x2-a)

x

，（x＞0），
令f′（x）=0，由a＞0，解得x₁=

a

，x₂=-

a

（舍去），
①当

a

≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，+∞）上f′（x）≤0，函数f（x）是减函数．
所以 函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；        
②当

a

＞1，即a＞1时，x在[1，+∞）上变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表

x	1	（1， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）		+	0	-
f（x）	0	↗	alna-a+1	↘

∴函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（

a

）=alna-a+1，
综上所述：当0＜a≤1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；
当a＞1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（

a

）=alna-a+1，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0＜a≤1时，f（x）≤f（1）=0在区间[1，+∞）上恒成立；
当a＞1时，由于f（x）在区间[1，

a

]上是增函数，
∴f（

a

）＞f（1）=0，即在区间[1，+∞）上存在x=

a

使得f（x）＞0．
综上所述，a的最大值为1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，是一道中档题．