Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=，求数列{c_n}的前n项和为T_n．
（3）张三同学利用第（2）题中的T_n设计了一个程序流程图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法束）．你是否同意李四同学的观点？请说明理由．

Answer 1

解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2；
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n+1，则…（4分）
（2）当n为偶数时，
当n为奇数时，n-1为偶数，
则…（9分）
（3）记d_n=T_n-P
当n为偶数时，
d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47
∴从第4项开始，数列{d_n}的偶数项开始递增，而d₂，d₄，…d₁₀d都小于2005d₁₂＞2005
∴d_n=2005（n为偶数）
当n为奇数时，，
∴从第5项开始，数列{d_n}的偶数项开始递增，而d₁，d₃…d₁₁都小于2005，d₃＞2005
则d_n≠2005（n为奇数）
李四的观点正确．（14分）
分析：（1）由，令n=1，求得数列的首项，再利用已知数列的前n项和与通项之间的关系，可求出数列的通项；
（2）数列数列{c_n}满足c_n=，（k∈N*），利用分组求和求出数列cn的前n项的和；
（3）记d_n=T_n-P，当n为偶数时，，d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47；n为奇数时，，，分析即可求解．
点评：此题以程序图为载体考查数列的性质和应用，考查了已知数列的前n项和求数列的通项，等比数列的定义及通项公式，还考查了学生分类讨论的思想．解题时要认真审题，仔细解答．