Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB平行于CD，AD=DC=DD1=

1

2

AB=1，AD₁⊥A₁C，E是A₁B₁中点．
（1）求证：CD⊥A₁D₁．
（2）求二面角C-D₁E-B₁的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意知四边形AA₁D₁D是正方形，得AD₁⊥平面DA₁C，即AD₁⊥DC，可证DC⊥平面AA₁D₁D得 DC⊥A₁D_1．
（2）根据（1）的结论，利用垂直关系建立坐标系，求平面CD₁E的法向量，用向量的数量积求二面角的余弦值．

解答：解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱且AD=DD₁；
∴四边形AA₁D₁D是正方形，∴AD₁⊥A₁D，
∵AD₁⊥A₁C，A₁D∩A₁C=A₁；
∴AD₁⊥平面DA₁C；∴AD₁⊥DC（4分）
∵DD₁⊥DC，DD₁∩AD₁=D₁；
∴DC⊥平面AA₁D₁D；∴DC⊥A₁D₁（6分）
（2）由（1）知以D₁为坐标原点，建立空间直角坐标系；C（0，1，1）；E（1，1，0）；

D1C

=(0，11)；

D1E

=(1，1，0)（8分）
由题意，平面D₁EB₁的法向量为

D1D

=（0，0，1）
设平面CD₁E的法向量

n

=（x，y，z），则

y+z=0 x+y=0

?

z=-y x=-y

，
令y=-1，则

n

=（1，-1，1）（10分）
∴cosθ=

nD1EB1 • nCD1E

| nD1EB1 || nCD1E |

=

3

3

；
由图形知，二面角C-D₁E-B₁为锐角，
∴二面角C-D₁E-B₁的大小为arccos

3

3

．

点评：本题用了线面垂直的定理及定义进行线线垂直、线面垂直的转化；借助垂直关系建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量数量积求二面角的余弦值，注意二面角的大小．