Question

【题目】如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中， ， ．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）底面中，根据余弦定理求，三边满足勾股定理，所以，又根据原几何体是直平行六面体，所以，也能证明，这样就垂直了平面内的两条相交直线，所以线面垂直；（Ⅱ）以点为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据公式.

试题解析：（Ⅰ）证明：在中，∵， ．

由余弦定理， ，

∵，

∴，

在直平行六面体中， 平面， 平面，∴，

又，

∴平面．

（Ⅱ）解：如图以为原点建立空间直角坐标系，

∵， ，

∴， ， ， ，

， ， ，

设平面的法向量，

令，得， ，

∴，

设直线和平面的夹角为，

∴，

所以直线与平面所成角的正弦值为．