在平面直角坐标系中.对其中任何一向量X=(x1.x2).定义范数||X||.它满足以下性质:(1)||X||≥0.当且仅当X为零向量时.不等式取等号,(2)对任意的实数λ.||λX||=|λ|•||X||(注:此处点乘号为普通的乘号),(3)||X||+||Y||≥||X+Y||．应用类比的方法.我们可以给出空间直角坐标系下范数的定义.现有空� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在平面直角坐标系中，对其中任何一向量X=（x₁，x₂），定义范数||X||，它满足以下性质：（1）||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此处点乘号为普通的乘号）；（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．应用类比的方法，我们可以给出空间直角坐标系下范数的定义，现有空间向量X=（x₁，x₂，x₃），下面给出的几个表达式中，可能表示向量X的范数的是

（把所有正确答案的序号都填上）
（1）

x12

+2x₂²+x₃²（2）

2x2-x22+x32

（3）

x12+x22+x32+2

（4）

x12+x22+x32

．

分析：根据已知中关于向量范数的定义，及所满足的性质：（1）||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此处点乘号为普通的乘号）；（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．我们逐一分析题目中所给的4个表达式，判断是否同时满足所有性质，即可得到答案．

解答：解：（1）

x12

+2x₂²+x₃²满足||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；
但不满足对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||，故（1）不正确；
（2）

2x2-x22+x32

满足||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；
不满足对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||，故（2）不正确；
（3）

x12+x22+x32+2

不满足||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；
故（3）不正确；
（4）

x12+x22+x32

，满足||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；
同时满足，对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||，
即（4）同时满足向量X的范数的三个条件
故答案为：（4）．

点评：本题考查的知识点是演绎推理，判断一个式子是否是表达向量X的范数，关键是要根据向量X的范数的定义中所满足的性质逐一进行检验．

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