Question

已知定义域为R的函数y=f（x）对任意x∈R都满足条件f（x）+f（4-x）=0与f（x+2）-f（x-2）=0，则对函数y=f（x），
下列结论中必定正确的是

①③

．（填上所有正确结论的序号）
①y=f（x）是奇函数；                ②y=f（x）是偶函数；
③y=f（x）是周期函数；              ④y=f（x）的图象是轴对称的．

Answer 1

分析：由f（x+2）-f（x-2）=0可求得f（x+4）=f（x），可判断其周期性，f（x）+f（4-x）=0可结合周期性判断其奇偶性，即可得到结果．

解答：解：∵f（x+2）-f（x-2）=0，∴f[（x+2）+2]=f[（x+2）-2]，即f（x+4）=f（x），∴y=f（x）是周期为4的函数；又f（x）+f（4-x）=0，∴f（4-x）=-f（x），又f（4-x）=f（-x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．
故答案为：①③．

点评：本题考查抽象函数的性质及其应用，难点在于对函数周期性与奇偶性的充分结合，属于中档题．