Question

设等比数列z₁，z₂，z₃，…，z_n，其中z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai（a，b∈R，a＞0）．
（1）求a，b的值；
（2）若等比数列的公比为q，且复数μ满足(-1+

3

i)μ=q，求|μ|．

Answer 1

分析：（1）z₁，z₂，z₃是等比数列的前三项，根据等比数列的性质可得z₂²=z₁•z₃，由已知z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai，分别代入即可得到关于a和b的方程组，求出方程组的解集即可得到a与b的值；
（2）把（1）求出a与b的值代入z₂，然后利用

z2

z1

求出等比数列的公比q，由于(-1+

3

i)μ=q，把公比q代入其中即可求出复数μ，即可求出复数的模．

解答：解：（1）由等比数列得z₂²=z₁•z₃，
即（a+bi）²=1•（b+ai）且a＞0
∴

a2-b2=b 2ab=a

，解得

a= 3 2 b= 1 2

；
（2）q=

z2

z1

=

3

2

+

1

2

i．
∵(-1+

3

i)μ=q
∴μ=

3 2 + 1 2 i

-1+ 3 i

=

- 1 2 i(-1+ 3 i)

-1+ 3 i

=-

1

2

i．
∴|μ|=

1

2

．

点评：此题考查学生灵活利用等比数列的性质解决实际问题，会进行复数代数形式的混合运算及会求复数的模，是一道综合题．