Question

（2013•泸州一模）已知命题p：夹角为m的单位向量a，b使|a-b|＞l，命题q：函数f（x）=msin（mx）的导函数为f′（x），若?x_o∈R，f′(xo)≥

4π2

5

．设符合p∧q为真的实数m的取值的集合为A．
（I）求集合A；
（Ⅱ）若B={x∈R|x²=πa}，且B∩A=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）分别求出命题为真时，参数的范围，再根据p∧q为真，则p真q真，建立不等式组，从而可求实数m的取值范围．
（II）由条件A∩B=φ，对字母a分类讨论，我们易构造出一个关于a的不等式，解此不等式即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（I）∵|

a

-

b

|＞1，|

a

|=|

b

|=1
∴

a

²+

b

²-2

a

•

b

=2-2cosm＞1
∴cosm＜

1

2

∵0≤m≤π
∴

π

3

＜m≤π
即命题p为真时，m的取值对应的集合P=（

π

3

，π]
函数f（x）=msin（mx）的导函数f′（x）=m²cos（mx），
若?x_o∈R，f′(xo)≥

4π2

5

．则f′（x）_max=m²≥

4π2

5

解得m≤-

2 5 π

5

或m≥

2 5 π

5

，
p∧q为真，即p和q都为真，此时有

π

3

＜m≤π且m≤-

2 5 π

5

或m≥

2 5 π

5

，
即

2 5 π

5

≤m≤π
故实数m的取值的集合为A=[

2 5 π

5

，π]．
（II）（1）若B=∅，满足B∩A=∅，
此时实数a的取值范围a＜0；
（2）若B≠∅，则a≥0，此时B={x|x=±

πa

}，
由B∩A=∅，得

πa

≤

π

3

，或

πa

≤

2 5

5

π，
∴0≤a≤

π

9

，或a≥

4

5

π．
综上，实数a的取值范围是（-∞，

π

9

]∪[

4

5

π，+∞）．

点评：本题的考点是集合的包含关系判断及应用，主要考查集合的关系、集合的运算，同时考查向量运算与导数的应用．集合关系中的参数取值问题，其中根据已知条件，构造出关于a的不等式组，是解答本题的关键．本题是一个中档题目．