Question

19．已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，且满足a₁+a₅=12，S₄=20；数列{b_n}满足：b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=$\frac{n}{3}$，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式可得a_n，利用递推关系可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则由题意：$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+4d=12}\\{4{a}_{1}+6d=20}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=2，∴a_n=2n．
∵数列{b_n}满足：b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=$\frac{n}{3}$，（n∈N^*）．
∴n≥2时，b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-2b_n-1=$\frac{n-1}{3}$，
相减可得：3^n-1b_n=$\frac{1}{3}$，解得b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$．
当n=1时，b₁=$\frac{1}{3}$．
经检验知n=1时，适合b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$．
（2）c_n=a_nb_n+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=2n$•\frac{1}{{3}^{n}}$+$\frac{1}{4n（n+1）}$，
设数列$\{n•\frac{1}{{3}^{n}}\}$的前n项和为：P_n，则P_n=$1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{{3}^{2}}$+$3×\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$n•\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}{P}_{n}$=$1×\frac{1}{{3}^{2}}+2×\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$（n-1）×\frac{1}{{3}^{n}}$+n×$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{P}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+$…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-n×$\frac{1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n×$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴P_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$．
$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列$\{\frac{1}{n（n+1）}\}$的前n项和为：$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4（n+1）}$．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{3}{2}-\frac{3+2n}{2×{3}^{n}}$+$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查了“错位相减法”与“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的系统公司及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．