Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x恒成立，则称f（x）为有界泛函．有下面四个函数：
①f（x）=1；   
②f（x）=x²；   
③f（x）=2xsinx；   
④f(x)=

x

x2+x+2

．
其中属于有界泛函的是（　　）

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：本题考查阅读题意的能力，根据有界泛函的定义进行判定：对于①可以利用定义直接加以判断，
对于②可以利用绝对值的性质将不等式变形为|x|≤m，
对于③，即|2sinx|≤M，只需M≥2，
对于④，将不等式变形为|

1

x2+x+2

|≤M，可以求出符合条件的m的最小值

解答：解：对于①，显然不存在M都有1≤M|x|成立，故①错；
对于②，|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；②错
对于③，f（x）|=|2xsinx|≤M|x|，即|2sinx|≤M，当M≥2时，f（x）=3xsinx是有界泛函．．③对
对于④，|f(x)=

x

x2+x+2

|）|≤M|x|，即|

1

x2+x+2

|=

1

x2+x+2

≤M，只需≥

7

4

，④对
综上所述，③④
故选B

点评：本题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．