Question

12．在如图所示的四棱锥S-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，SA=AB=BC=1，AD=3．
（1）在棱SA上确定一点M，使得BM∥平面SCD，保留作图痕迹，并证明你的结论．
（2）当SA⊥平面ABCD且点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求三棱锥S-AEC的体积．

Answer 1

分析 （1）M满足$\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}$．
证法一：取SA，SD上的点M，N，使得$\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{3}$，连结BM，MN，NC．推导出四边形MNCB为平行四边形，从而BM∥CN，由此能证明BM∥平面SCD．
证法二：取AS，AD上的点M，N，使得$\frac{AM}{AS}=\frac{AN}{AD}=\frac{2}{3}$，连结BM，MN，BN，推导出平面MNB∥平面SCD，由此能证明BM∥平面SCD．
（2）由V_S-AEC=V_C-SAE，能求出三棱锥S-AEC的体积．

解答 解：（1）M满足$\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}$．…（1分）
证明如下：取SA，SD上的点M，N，使得$\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{3}$…（2分）
连结BM，MN，NC．
在△SAD中，$\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{3}$，则MN∥AD，且$\frac{MN}{AD}=\frac{1}{3}$
又由已知可得BC∥AD，且$\frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}$，所以BC∥MN且BC=MN，即四边形MNCB为平行四边形．…
故BM∥CN．又CN?平面SCD，BM?平面SCD．所以BM∥平面SCD．…（6分）
证法二：取AS，AD上的点M，N，使得$\frac{AM}{AS}=\frac{AN}{AD}=\frac{2}{3}$…（2分）    
 连结BM，MN，BN．
在△SAD中，$\frac{AM}{AS}=\frac{AN}{AD}=\frac{2}{3}$，所以MN∥SD…（3分）
在四边形BCDN中，BC=DN，BC∥DN，
所以四边形为平行四边形，则BN∥CD…（4分）
又MN∥SD，MN∩BN=N，SD∩CD=D，所以平面MNB∥平面SCD，…（5分）
又BM?平面MNB，所以BM∥平面SCD．…（6分）
解：（2）∵SA⊥底面ABCD，所以SA⊥BC，又已知∠ABC=90°，即AB⊥BC．
又SA∩AB=A，所以BC⊥平面SAC…
由Rt△SAB及$BE=\frac{1}{3}BS$可得${S_{△SAE}}=\frac{2}{3}{S_{△SAB}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{3}$…
所以三棱锥S-AEC的体积${V_{S-AEC}}={V_{C-SAE}}=\frac{1}{3}×{S_{△SAE}}×BC=\frac{1}{9}$…（12分）（换底过程1分）

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．