Question

设函数.

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅲ）若对任意及，恒有

成立，求的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.

当时， ，.

令，解得.……2分

当时，；当时， .

又，所以的极小值为，无极大值 .………4分

（Ⅱ）…………5分

当时，，  令，得或，令，

得；…………6分，当时，得，令，得或，令，得；当时，.8分

综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为.

当时，在单调递减.

当时，的递减区间为；递增区间为.…（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在单调递减.

当时，取最大值；当时，取最小值.

所以

.……11分

因为恒成立，

所以，整理得.

又 所以，   又因为 ，得，

所以所以 .………14分

上式也可以化为：恒成立，利用一次函数求m的范围.