Question

6．已知四面体ABCD的棱长均为$\sqrt{2}$，则下列结论中错误的是（　　）

• A． AC⊥BD
• B． 若该四面体的各顶点在同一球面上，则该球的体积为3π
• C． 直线AB与平面BCD所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． 该四面体的体积为$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可．

解答 解：对于A，如图②：
在等边三角形BCD中，BM为CD边上的高，再在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，
则H为底面正三角形BCD的重心，
∴DB⊥AH，BD垂直于过CH的直线，CH、AH交于H，
∴BD⊥平面ACH，
∴BD⊥AC，
故A正确；
对于选项B，如图①：
，
将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，
正方体的对角线长为：$\sqrt{3}$，
则此球的体积为：$\frac{4}{3}$π×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）³=$\frac{\sqrt{3}}{2}$π，
故B错误；
对于选项C，如图②：

在等边三角形BCD中，BM为CD边上的高，再在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，
则H为底面正三角形BCD的重心，则∠ABH=α，就是AB在平面BCD所成角，
棱长为$\sqrt{2}$，由BM为CD边上的高，
则BM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，在Rt△ABH中，则BH=$\frac{2}{3}$BM
=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosα=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故C正确；
对于D，如图②：
由选项C得：AH=$\sqrt{{AB}^{2}{-BH}^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
S_△BCD=$\frac{1}{2}$×BM×DC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
V_A-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
故D正确；
故选：B．

点评 本题是中档题，考查空间想象能力，考查四面体的体积公式，选项B的判断较难，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的，选项D和选项C联合判断即可．