Question

11．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-1}$的最小值为9．

Answer 1

分析 由题意可得b-1＞0且a+（b-1）=1，整体代入可得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-1}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-1}$）[a+（b-1）]=5+$\frac{4（b-1）}{a}$+$\frac{a}{b-1}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞0，b＞1，且a+b=2，
∴b-1＞0且a+（b-1）=1，
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-1}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-1}$）[a+（b-1）]
=5+$\frac{4（b-1）}{a}$+$\frac{a}{b-1}$≥5+2$\sqrt{\frac{4（b-1）}{a}•\frac{a}{b-1}}$=9，
当且仅当$\frac{4（b-1）}{a}$=$\frac{a}{b-1}$时取等号，
结合a+（b-1）=1可解得a=$\frac{2}{3}$且b=$\frac{4}{3}$，
故所求最小值为9
故答案为：9

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．