Question

已知函数f（x）=

a(1-x)

x

ln（1-x）（a∈R），e为自然对数的底数．
（1）求f（x）在区间[1-e²，1-e]上的最值；
（2）若n≥2（n∈N^*），试比较(1+

1

2!

) (1+

1

3!

) …(1+

1

n!

)与e的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）求导，利用导函数，当导函数为0时，求出函数的增减区间，即可求最值；
（2）对a分情况讨论，通过放缩不等式，使不等式变成已有的简单式子进行证明．

解答：解：（1）f，′(x)=

a

x2

[x+ln(1-x)]，设h（x）=x+ln（1-x），x∈R，
则h′(x)=

ax

x-1

，即h（x）在（-∞，0]上递增，故h（x）＜h（0）=a，
即对x∈[1-e²，1-e]，有h（x）＜a．
①当a＞0，有f（x）＞0，f（x）在[1-e²，1-e]上递增
故f(x)max=f(1-e)=

ae

1-e

，f(x)min=f(1-e2)=

ae2

1-e2

．
②当a＜0，有f（x）＜0，f（x）在[1-e²，1-e]上递减，
故f(x)min=f(1-e)=

ae

1-e

，f(x)max=f(1-e2)=

ae2

1-e2

．
③当a=0，有f（x）=0，f（x）_min=f（x）_max=0．
（2）若n≥2（n∈N^*），猜想：(1+

1

2!

) (1+

1

3!

) …(1+

1

n!

)＜e．
证明如下：据（1）知当x≤0时恒有h（x）≤0，即ln（1-x）≤-x
故ln(1+

1

2!

) (1+

1

3!

) …(1+

1

n!

)=ln(1+

1

2!

) +ln(1+

1

3!

) +…+ln(1+

1

n!

)
＜

1

2!

+

1

3!

…

1

n!

＜ 

1

1×2

+

1

2×3

…+

1

(n-1)×n

＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-…+

1

n-1

-

1

n

＜e
故(1+

1

2!

) (1+

1

3!

) …(1+

1

n!

)＜e．

点评：本题主要考查了利用导数求最值以及不等式的证明，不等式的合理放缩是解题的关键．