Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）为R上的减函数；
（3）若对任意的t∈[-1，1]，不等式f（2k-4^t）+f（3•2^t-k-1）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）由f（0）=0得b=1，由f（-1）=-f（1）得a=2．
∴；
（2）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=-
=
=，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）为R上的减函数；
（3）由函数f（x）为奇函数，得f（2k-4^t）+f（3•2^t-k-1）＜0?f（2k-4^t）＜f（k+1-3•2^t），
∵f（x）为R上的减函数，
∴2k-4^t＞k+1-3•2^t，
∴，
对任意的t∈[-1，1]，不等式f（2k-4^t）+f（3•2^t-k-1）＜0恒成立，等价于k＞的最大值，
∵t∈[-1，1]，∴，
∴当时，的最大值为，
∴．
分析：（1）根据奇函数的性质得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出即可；
（2）设x₁＜x₂，依据奇函数的定义只需利用作差证明f（x₁）＞f（x₂）；
（3）利用函数的奇偶性、单调性把该不等式转化为具体不等式，然后转化为求函数的最值问题，利用二次函数的性质易求其最大值．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查函数恒成立问题及二次函数在闭区间上的最值，函数恒成立问题往往转化为函数最值问题加以解决．